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行业动态

非标准分析有两种截然不同的方法

作者: admin 点击次数: 发布时间: 2019/5/30 9:31:23

      语义或模型理论方法和句法方法。这两种方法都适用于除分析之外的其他数学领域,包括数论,代数和拓扑。

      罗宾逊最初的非标准分析表达式属于语义方法的范畴。正如他在论文中所发展的那样,它是基于研究理论的模型(特别是饱和模型)。自Robinson的工作首次出现以来,使用称为超结构的纯粹集合理论对象开发了一种更简单的语义方法(由于Elias Zakon)。在这种方法中,理论模型被一组称为超结构V(S)的对象替换在一组S上。从上层结构V(S)开始,使用超能力结构和映射构造另一个对象* V(S) V(S)→* V(S)满足转移原理。映射*涉及V(S)和* V(S)的形式属性。此外,可以考虑称为可数饱和度的更简单的饱和形式。这种简化的方法也更适合不是模型理论或逻辑专家的数学家使用。

      句法方法需要更少的逻辑和模型理论来理解和使用。这种方法是由数学家爱德华·尼尔森在20世纪70年代中期开发的。尼尔森引入了一种完全公理化的非标准分析方法,他称之为内部集理论(IST)。[13] IST是Zermelo-Fraenkel集合论(ZF)的扩展,它与基本的二元隶属关系∈一起,引入了一个新的一元谓词标准,它可以应用于数学宇宙的元素以及一些公理推理这个新的谓语。

      句法非标准分析需要非常谨慎地应用集合形成原理(正式称为理解公理),数学家通常认为这是理所当然的。正如尼尔森指出的那样,IST推理中的谬误是非法集合的形成。例如,IST中没有集合,其元素恰好是标准整数(此处标准在新谓词的意义上被理解)。为了避免非法集合的形成,必须只使用ZFC的谓词来定义子集。[13]

      句法方法的另一个例子是Vopěnka引入的备选集理论[14],试图找到与非标准分析比ZF公理更兼容的集合理论公理。


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